0：信号的基本概念与数学基础
基本概念
信号就是随时间变化的物理量
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模拟信号与数字信号:
- 模拟信号：连续变化的信号，可以在任何时间点上取任何值。
- 数字信号：离散时间、离散幅度的信号。通过对模拟信号的采样和量化得到。
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采样：将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。采样频率决定了采样的密度。
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量化：将连续幅度的信号转换为离散幅度的过程。
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时域与频域：
- 时域分析：直接在时间轴上考察信号，观察其随时间变化的特性。
- 频域分析：通过数学变换，如傅里叶变换，将信号转换到频域进行分析，观察信号的频率成分。
当然，函数卷积和序列卷积是信号处理中的基本运算，它们描述了两个信号或函数结合产生第三个信号的过程，通常在系统响应和滤波等应用中非常关键。下面是这两种卷积的定义和公式：
函数卷积（连续时间卷积）
对于两个连续时间函数( f(t) )和( g(t) )，它们的卷积表示为( f(t) * g(t) )，定义为：
$$
(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau) d\tau
$$
这个积分表达式计算了在所有可能的时间偏移下，一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的总和。
序列卷积（离散时间卷积）
对于两个离散时间序列( x[n] )和( h[n] )，它们的卷积表示为( x[n] * h[n] )，定义为：
$$
(x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n - k]
$$
在离散时间卷积中，我们对所有可能的时间偏移的乘积求和。
理解卷积
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物理意义：在物理或工程上，卷积常常被解释为一个系统对输入信号的响应。其中一个函数通常代表系统的冲击响应，而另一个函数代表输入信号。
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应用：卷积在信号处理、图像处理、概率、统计和物理学等许多领域有广泛应用。在信号处理中，卷积用于描述线性时不变系统的输出。
在实际应用中，卷积可以通过各种算法实现，包括直接计算、快速傅里叶变换（FFT）等方法。理解卷积的概念和掌握其计算对于深入学习数字信号处理至关重要。